Tabela Trigonométrica

A matemática foi evoluindo de acordo com as necessidades do homem. Os astrônomos, por exemplo, precisavam descobrir um método prático e eficiente para calcular a distância, em linha reta, entre dois pontos situados na superfície terrestre. Hiparco, que além de matemático era astrônomo, também se deparou com essa questão quando determinou o comprimento da circunferência da Terra. Numa circunferência, a distância entre dois pontos quaisquer A e B é chamada corda

Hiparco construiu uma tabela com os valores das cordas de uma série de ângulos de 0º a 180º. A construçãod a primeira tabela trigonométrica da história da Matemática representou um grande avanço para a Astronomia e valeu a Hiparco o Título de Pai da Trigonometria. Esse título, porém, seria esquecido anos mais tarde, com o aparecimento da mais importante obra trigonométrica da Antiguidade: Uma coleção de 13 livros denominada Síntese matemática. A Síntese matemática, obra maior da Trigonometria, foi escrita no primeiro século da era cristã por Ptolomeu de Alexandria. Pouco sabemos sobre a vida desse matemático egípcio, mas sua obra é conhecida até hoje como Almajesto, que significa o maior. No almajesto encontramos uma tabela trigonométrica bem mais completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de uma circunferência, para ângulos que variam entre 0º e 180º.

Introdução à Trigonometria

A Trigonometria é um dos temas mais importantes da Matemática. Isto se deve ao fato de que ela possui aplicações, desde as mais simples até as maiscomplexas, em diversas áreas da Ciência e Tecnologia.

Os teoremas sobre razões entre lados de triângulos semelhantes já tinham sido usados pelos egípcios e babilônios. Os gregos foram os primeiros a estabelecer a relação entre ângulos (ou arcos) de um círculo e os comprimentos das cordas que o subtendem. Estas relações foram utilizadas por eles para determinar o tamanho da Terra e as distâncias relativas da Terra ao Sol e à lua.

Inicialmente o problema principal da Trigonometria era a resolução de triângulos. Com o desenvolvimento da Análise Matemática, foi necessário definir seno, cosseno e tangente para todo número real, ou seja, como funções.

Devido à periodicidade de vários fenômenos da natureza, tais como: movimento dos planetas, som, corrente elétrica alternada, é fácil perceber a enorme importância das funções periódicas na Maemática e na física e as suas conexões com os outros ramos do conhecimento. As funções trigonométricas vêm, portanto, resolver uma série de problemas onde os fenômenos periódicos aparecem.

Origem das palavras seno, cosseno ..

A palavra seno vem de sinus. Sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que infelizmente dura até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, drtis jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra).

Uma explicação para esse erro é proposta por A. Aaboe: em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de jiba e laib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.

Infelizmente, quando se buscam as origens das palavras, é quase inevitável que se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a conclusão. Há outras explicações para a palavra seno. Uma delas é de que se trata da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita).

Quanto ao termo tangente, ele tem significado claro, pois tan x = t/r onde t é o segmento da tangente compreendido entre as extremidades do raio e o prolongamento do outro lado.

A secante do ângulo x é definida pela fórmula sec x = s/r onde s é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são o raio r e o segmento de tangente t. Como o segmento da reta s corta o círculo (secare = cortar, em latim), a denominação secante se justifica.

Finalmente, cosseno, cotangente e cossecante são simplesmente o seno, a tangente e a secante do arco complementar.

A palavra cateto vem de Kátetos e quer dizer vertical ou perpendicular.
A palavra hipotenusa vem de hypoteínousa e significa linha estendida por baixo.

Matemáticos que se destacaram

Hiparco de Nicéia (séc. II a.C.)

O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. 

Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.

Hiparco de Nicéia

Teorema de Hiparco

O teorema de Hiparco, muitas vezes confundido com o teorema de Ptolomeu diz: "para qualquer quadrilátero inscritível, a razão entre as diagonais é igual a razão da soma dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais".

M/N = (A.D+B.C) / (A.B+C.D)

Pitágoras (séc. VI a.C.)

Filósofo e matemático grego, nasceu na cidade de Samos, fundou uma escola em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental. A observação dos astros sugeriu-lhe a idéia de que uma ordem domina o universo. Nessa visão, também concluiu que a terra é esférica, uma estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos refere-se às relações entre os lados do triângulo retângulo: consiste em provar que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Os egípcios já sabiam que um triângulo cujos lados são 3, 4, 5 tem ângulo reto, mas os pitagóricos foram os primeiros a descobrir uma prova da proposição geral.

Pitágoras

Teorema De Pitágoras

Onde X e Y são os catetos e Z é a hipotenusa.

Tales de Mileto (séc. VI a.C)

Viajava muito pelos centros antigos de conhecimento e deve ter obtido informações sobre astronomia e matemática, aprendendo geometria no Egito, na Babilônia. Discípulo dos egípcios e caldeus, recebeu o título de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Um resultado de seus estudos é o "Teorema de Tales", segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.

Tales de Mileto

Teorema de Tales

Bhaskara (séc. XII)

Nasceu na Índia. Sua maior contribuição para a Trigonometria foi Siddhantasiromani, dividido em duas partes: uma sobre matemática astronômica e outra sobre a esfera. Determinou um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo. É interessante ressaltar que, apesar de haver trabalhado com equações de segundo grau e formulado uma expressão que envolvia raízes quadradas (famosa entre alunos de 8º série em diante), seu nome relacionado a esta fórmula, aparentemente, só ocorre no Brasil, pois não encontramos esta referência na literatura internacional, portanto, a nomenclatura "fórmula de Bhaskara" não é adequada, pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam quase quatro mil anos antes, em textos escritos pelos babilônios, nas tábuas cuneiformes.

Bhaskara

Fórmula de Bhaskara

Teodolito

O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia, na geodésia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usado em redes de triangulação.

Ambos os eixos de um teodolito estão equipados com círculos graduados que podem ser lidos através de lentes de aumento. O círculo vertical que se move sobre o eixo horizontal deve estar a 90 graus quando o eixo horizontal é visto.

Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé centrado (norteado) e verticalizado, podendo possuir ou não uma bússola incorporada , entretanto o teodolito foi inventado pelo italiano Ignazio Porro, em torno de 1835. E conforme o telescópio, o mesmo instrumento que permitia a medição de distância, elevação e direção, reduzindo significativamente o tempo usado para um levantamento topográfico aumentando a precisão.

Existe uma diversidade de teodolitos para diversos tipos de usos, precisões e alcances. Originalmente apenas um aparelho óptico, hoje, estão disponíveis no mercado teodolitos automáticos que, por meio de dispositivos eletrônicos, fazem a leitura dos pontos e os armazenam na memória, sendo possível exportá-los por software para confecção de mapas com as características topográficas do local medido.

Uma estação total é um instrumento óptico usado em inspeção moderna. É uma combinação de um teodolito eletrônico (trânsito), um dispositivo de medição eletrônica de distância (EDM) e software que correm em um computador externo. 

Com uma estação total a pessoa pode determinar ângulos e distâncias do instrumento para pontos a serem inspecionados. Com a ajuda da trigonometria, pode-se usar os ângulos e distâncias para calcular as coordenadas de posições atuais (X, Y e Z ou northing, easting e elevação) de pontos inspecionados ou a posição do instrumento de pontos conhecidos, em condições absolutas. 

Os dados podem ser carregados do teodolito para um computador e lido por um software de aplicação gerará um mapa da área inspecionada. Algumas estações de totais também têm uma interface de GPS.

 

No caso de se calcular a área de um local, primeiramente o teodolito é posicionado no primeiro ponto, de forma que totalmente nivelado com o eixo de gravidade do local e que o 0° do movimento horizontal esteja direcionado a um ponto de referência no Pólo mais próximo. 

Depois, o segundo ponto, marcado com uma estaca ou outro ponto (como uma árvore), é mirado através do telescópio, e a angulação obtida é medida na horizontal e na vertical. Usando uma fita métrica, mede-se a distância entre os dois pontos. 

Seguindo esse raciocínio, a distância e os ângulos vertical e horizontal entre os outros pontos do local a ser estudado são medidos e a área pode ser calculada. Muito usado em metalurgia.

Curiosidades

O matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, independentemente, idealizaram a necessidade de se ter outra unidade angular, diferente do "grau". Escolheram como nome uma combinação da expressão radial angle - o RADIANO. O termo apareceu impresso pela primeira vez em 1873 e a nova unidade se caracterizava pela expressão dos ângulos em função de "pi" . A razão de sua invenção está ligada a simplificação de certas fórmulas matemáticas e físicas.

Outra unidade pouco conhecida é o mil, usado pela Artilharia do Exército suíço em 1864. Foi adotado pela frança em 1879 e posteriormente pelo Exército dos Estados Unidos. Foi definido inicialmente como o ângulo que subentende uma jarda a distância de 1000 jardas e posteriormente como o ângulo central cujo arco é 0,001 da raio.

Topografia (do grego topos, “lugar”; graphein, “descrever”) significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. A Topografia é a ciência que tem por objetivo determinar o posicionamento relativo, as dimensões e a área dos objetos (glebas, pontos, linhas e direções), considerando um plano local e tangente à superfície da Terra, segundo um ponto de referência definido por um sistema de eixos cartesianos. Uma representação topográfica (planta, carta, etc.) é uma projeção ortogonal dotada de todos os detalhes de uma superfície em estudo. Para obter essa representação o topógrafo mede, basicamente, distâncias e ângulos. As distâncias são medidas com trenas; para medir ângulos, ele dispõe de um aparelho chamado teodolito.
O teodolito mede ângulos contidos num plano horizontal e num plano vertical. A figura básica usada em Topografia é o triângulo. Através de pontos convenientementes escolhidos, o topógrafo constrói uma malha de triângulos. Conhecendo algumas distâncias e ângulos, ele chega ao cálculo dos elementos desconhecidos (distância a pontos inacessíveis). Desta forma pode-se discutir: Quais são estas “relações” que envolvem ângulos e distâncias, ou seja, lados e ângulos de um triângulo? Por que a figura básica da Topografia é o triângulo?

Exercícios Envolvendo a Trigonometria

Vídeos

Bibliografia

 Curiosidades:
http://www.escolabr.com/virtual/wiki/index.php?title=Categoria:Trigonometria

 Teodolito:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teodolito

 Introdução à Trigonometria:
http://www.fund198.ufba.br/trigo-pa/1int.pdf

 Origem das palavras seno, cosseno ..:
http://www.fazendomatematica.com/2010/09/origem-das-palavras-seno-cosseno.html

 Matemáticos que se destacaram:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm11/notas.htm

Exercícios:
http://trigonometriaemfoco.blogspot.com.br/2009/04/atividades-envolvendo-as-razoes.html